Question

13．設(shè)a，b為整數(shù)，把形如a+b$\sqrt{5}$的一切數(shù)構(gòu)成的集合記作M，即M={a+b$\sqrt{5}$|a∈Z，b∈Z），設(shè)x∈M，y∈M，試判斷x+y，x-y，xy，$\frac{x}{y}$是否屬于M．

Answer 1

分析 不妨設(shè)x=a₁+b₁$\sqrt{5}$，y=a₂+b₂$\sqrt{5}$，（a₁，b₁，a₂，b₂為整數(shù)），從而可得x+y=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{5}$∈M，x-y=（a₁-a₂）+（b₁-b₂）$\sqrt{5}$∈M，xy=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{5}$∈M．舉反例可知$\frac{x}{y}$不一定在集合M中．

解答 解：∵x∈M，y∈M，
∴不妨設(shè)x=a₁+b₁$\sqrt{5}$，y=a₂+b₂$\sqrt{5}$，（a₁，b₁，a₂，b₂為整數(shù)），
∴x+y=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{5}$，
又∵a₁+a₂，b₁+b₂為整數(shù)，
∴x+y∈M，
同理，x-y=（a₁-a₂）+（b₁-b₂）$\sqrt{5}$∈M，
xy=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{5}$∈M．
當(dāng)x=1，y=$\sqrt{5}$-1時(shí)，$\frac{x}{y}$∉M；
故x+y，x-y，xy∈M，$\frac{x}{y}$不一定在集合M中．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了元素與集合的關(guān)系的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．