Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+b+1（a≠0，b＜1）在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，
（1）求a，b的值．
（2）設(shè)f(x)=

g(x)

x

，不等式f（2^x）-k•2^x≥0在區(qū)間x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)可知對(duì)稱軸在區(qū)間[2，3]的左側(cè)，討論開(kāi)口方向，從而得到函數(shù)在區(qū)間[2，3]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，建立等式，可求出所求；
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在區(qū)間x∈[-1，1]上恒成立，可轉(zhuǎn)化成k≤(

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1=(

1

2x

-1)2在區(qū)間x∈[-1，1]上恒成立，然后研究不等式右邊函數(shù)的最小值即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）g（x）=ax²-2ax+b+1，對(duì)稱軸x=1，在區(qū)間[2，3]
①a＞0，g（x）在[2，3]單調(diào)遞增，
∴f（2）=b+1=1，f（3）=3a+b+1=4，
解得：a=1，b=0，
②a＜0，g（x）在[2，3]單調(diào)遞減，
∴f（2）=b+1=4解得b=3，
∵b＜1，∴b=3舍去，x
綜上，a=1，b=0．
（2）∵f(x)=

g(x)

x

，
∴f（x）=

x2-2x+1

x

=x+

1

x

-2，
∵不等式f（2^x）-k•2^x≥0在區(qū)間x∈[-1，1]上恒成立，
∴2x+

1

2x

-2-k•2x≥0在區(qū)間x∈[-1，1]上恒成立，
即k≤(

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1=(

1

2x

-1)2在區(qū)間x∈[-1，1]上恒成立，
∵x∈[-1，1]
∴

1

2x

∈[

1

2

，2]，即(

1

2x

-1)2∈[0，1]，
∴k≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題，對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解．本題解題過(guò)程中運(yùn)用了二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．