Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，

3

)，點(diǎn)，M滿足

OM

=

1

2

OA

，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動（包括端點(diǎn)），如圖．
（1）求∠OCM的余弦值；
（2）是否存在實數(shù)λ，使(

OA

-λ

OP

)⊥

CM

，若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,數(shù)量積表示兩個向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意求得

CM

、

CO

的坐標(biāo)，再根據(jù)cos∠OCM=cos＜

CO

，

CM

＞=

CO • CM

| CM |•| CM |

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）設(shè)P(t，

3

)，其中1≤t≤5，由(

OA

-λ

OP

)⊥

CM

，得(

OA

-λ

OP

)•

CM

=0，可得（2t-3）λ=12．再根據(jù)t∈[1，

3

2

）∪（

3

2

，5]，求得實數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可得

OA

=(6，0)，

OC

=(1，

3

)，

OM

=

1

2

OA

=(3，0)，

CM

=(2，-

3

)，

CO

=(-1，-

3

)，
故cos∠OCM=cos＜

CO

，

CM

＞=

CO • CM

| CM |•| CM |

=

7

14

．
（2）設(shè)P(t，

3

)，其中1≤t≤5，λ

OP

=(λt，

3

λ)，

OA

-λ

OP

=(6-λt，-

3

λ)，

CM

=(2，-

3

)．
若(

OA

-λ

OP

)⊥

CM

，
則(

OA

-λ

OP

)•

CM

=0，
即12-2λt+3λ=0，
可得（2t-3）λ=12．
若t=

3

2

，則λ不存在，
若t≠

3

2

，則λ=

12

2t-3

，
∵t∈[1，

3

2

）∪（

3

2

，5]，
故λ∈(-∞，-12]∪[

12

7

，+∞)．

點(diǎn)評：本題主要考查用數(shù)量積表示兩個兩個向量的夾角，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．