Question

有一種新型的洗衣液，特點(diǎn)是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的洗衣液，它在水中釋放的濃度y與時(shí)間x（小時(shí)）的關(guān)系可近似地表示為：y=a•f（x），其中f（x）=

2- x 6 - 6 x+3     0≤x＜3 1- x 6               3≤x≤6

；若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，只有當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于

1

3

時(shí)，才能起到有效去污的作用．
（Ⅰ） 如果只投放1個(gè)單位的洗衣液，則能夠維持有效去污作用的時(shí)間有多長？
（Ⅱ） 第一次投放1個(gè)單位的洗衣液后，當(dāng)水中洗衣液的濃度減少到

1

3

時(shí)，馬上再投放1個(gè)單位的洗衣液，設(shè)第二次投放后水中洗衣液的濃度為g（x），求g（x）的函數(shù)解析式及其最大值；
（Ⅲ）若第一次投放2個(gè)單位的洗衣液，4小時(shí)后再投放a個(gè)單位的洗衣液，要使接下來的2小時(shí)中能夠持續(xù)有效去污，試求a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用水中洗衣液的濃度不低于

1

3

，可得f(x)≥

1

3

，再利用分段函數(shù)的意義分類討論即可解出；
（II）由（I）知，x=4時(shí)第二次投入1單位洗衣液，顯然g（x）的定義域?yàn)閧x|4≤x≤10}，根據(jù)分段函數(shù)的意義可得：當(dāng)4≤x≤6時(shí)，第一次投放1單位洗衣液還有殘留，故g（x）=(1-

x

6

)+[2-

x-4

6

-

6

(x-4)+3

]=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

；當(dāng)6＜x≤10時(shí)，第一次投放1單位洗衣液已無殘留，故當(dāng)6＜x≤7時(shí)，g（x）=2-

x-4

6

-

6

x-4+3

=

8

3

-

x

6

-

6

x-1

；當(dāng)7＜x≤10時(shí)，g（x）=1-

x-4

6

=

5

3

-

x

6

；再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（III）當(dāng)4≤x≤6時(shí)，y=2(1-

x

6

)+a(2-

x-4

6

-

6

x-1

)=2+

8a

3

-

a+2

6

x-

6a

x-1

，通過對(duì)a分類討論，再研究其單調(diào)性最小值即可．

解答： 解：（I）由題意知

0≤x＜3 2- x 6 - 6 x+3 ≥ 1 3

或

3≤x≤6 1- x 6 ≥ 1 3

解得1≤x≤3或3≤x≤4，即1≤x≤4；
∴能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間：4-1=3小時(shí)；
（II）由（I）知，x=4時(shí)第二次投入1單位洗衣液，顯然g（x）的定義域?yàn)閧x|4≤x≤10}；
當(dāng)4≤x≤6時(shí)，第一次投放1單位洗衣液還有殘留，故g（x）=(1-

x

6

)+[2-

x-4

6

-

6

(x-4)+3

]=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

；
當(dāng)6＜x≤10時(shí)，第一次投放1單位洗衣液已無殘留，故
當(dāng)6＜x≤7時(shí)，g（x）=2-

x-4

6

-

6

x-4+3

=

8

3

-

x

6

-

6

x-1

；
當(dāng)7＜x≤10時(shí)，g（x）=1-

x-4

6

=

5

3

-

x

6

；
∴g(x)=

11 3 - x 3 - 6 x-1 ，4≤x≤6 8 3 - x 6 - 6 x-1 ，6＜x≤7 5 3 - x 6 ，7＜x≤10

．
當(dāng)4≤x≤6時(shí)，g（x）=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

=

10

3

-(

x-1

3

+

6

x-1

)≤

10

3

-2

x-1 3 • 6 x-1

=

10

3

-2

2

；
當(dāng)且僅當(dāng)

x-1

3

=

6

x-1

時(shí)取“=”，即x=1+3

2

∈[4，6]；
當(dāng)6＜x≤10時(shí)，第一次投放1單位洗衣液已無殘留，
當(dāng)6＜x≤7時(shí)，g′(x)=

6

(x-1)2

-

1

6

=

(x+5)(7-x)

6(x-1)2

＞0，∴g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)7＜x≤10時(shí)，g（x）為減函數(shù)；故 g(x)max=g(7)=

1

2

，
又(

10

3

-2

2

)-

1

2

=

17-12 2

6

=

289 - 288

6

＞0，
∴第一次投放1+3

2

小時(shí)后，水中洗衣液濃度的達(dá)到最大值為

10

3

-2

2

；
（III）當(dāng)4≤x≤6時(shí)，
y=2(1-

x

6

)+a(2-

x-4

6

-

6

x-1

)
=2+

8a

3

-

a+2

6

x-

6a

x-1

=

10+15a

6

-[

a+2

6

(x-1)+

6a

x-1

]，
若

10

7

＜a≤4時(shí)，u=[

a+2

6

(x-1)+

6a

x-1

]max=

5a+2

2

∴ymin=

10+15a

6

-

5a+2

2

=

2

3

≥

1

3

恒成立；
若1≤a≤

10

7

時(shí)，u=[

a+2

6

(x-1)+

6a

x-1

]max=

61a+50

30

∴ymin=

10+15a

6

-

61a+50

30

=

7a

15

，
∴由

7a

15

≥

1

3

得a≥

5

7

，∴

5

7

≤a≤

10

7

；
綜上，

5

7

≤a≤4，即a的最小值為

5

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的意義及其單調(diào)性、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．