Question

設(shè)雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(

1

3

，0)；又直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)C相交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線(xiàn)段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)的原點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，寫(xiě)出理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，推導(dǎo)出

c a =2 a= 1 3

，由此能求出雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）將直線(xiàn)l的方程y=kx+1代入雙曲線(xiàn)C的方程3x²-y²=1后，整理得（k²-3）x²+2kx+2=0，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由已知條件x₁x₂+y₁y₂=0，由此能求出存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
離心率為2，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(

1

3

，0)，
∴設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴

c a =2 a= 1 3

，解得a=

3

3

，c=

2 3

3

，
b²=（

2 3

3

）²-（

3

3

）²=1，
∴雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3x²-y²=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線(xiàn)段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)的原點(diǎn)．
將直線(xiàn)l的方程y=kx+1代入雙曲線(xiàn)C的方程3x²-y²=1后，
整理得（k²-3）x²+2kx+2=0，…①
依題意，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)，
∴

k2-3≠0 △=(2k)2-8(k2-3)＞0

，
解得k的取值范圍是-

6

＜k＜

6

，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則由①式得

x1+x2= 2k 3-k2 x1x2= 2 k2-3

，…②
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）
=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線(xiàn)段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），
則由FA⊥FB得：x₁x₂+y₁y₂=0，…③
把②式代入③式得：（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴（1+k²）•

2

k2-3

+

2k2

3-k2

+1=0，
解得k=-1，或k=1，
∴1和-1都在（-

6

，

6

）內(nèi)，
∴存在實(shí)數(shù)k=±1，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)是否存在，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．