Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=

2n

Sn

（n∈N^*）證明：b₁+b₂+…+b_n＜

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得a₁=2，得an=4an-1+2n，由此能推導(dǎo)出{an+2n}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，從而得到an=4n-2n．
（Ⅱ）由an=4n-2n．得S_n=

2(2n+1-1)(2n-1)

3

，b_n=

2n

Sn

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，由此能證明b₁+b₂+…+b_n＜

3

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

（n∈N^*），
∴a1=S1=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

4

3

an-

4

3

an-1-

1

3

×2n，
整理，得an=4an-1+2n，
∴an+2n=4(an-1+2n-1)，a1+21=4，
∴{an+2n}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，
∴an+2n=4n，
∴an=4n-2n．
（Ⅱ）證明：∵an=4n-2n．
∴S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

=

2(2n+1-1)(2n-1)

3

，
∴b_n=

2n

Sn

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，
∴b₁+b₂+…+b_n=

3

2

(

1

2-1

-

1

2n+1-1

)＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．