Question

如圖，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且

BG

GC

=

DH

HC

=2，求證：EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點P．

Answer 1

考點：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意連接EF、HG、GE、FH、AC，根據(jù)比例關(guān)系和中位線證明出四邊形EFHG是梯形，EG、FH相交于一點P，由面ABC∩面ACD=AC，知EG、FH的交點P必在AC上，所以EG、FH、AC相交于同一點P．

解答： 證明：連接EF、HG、GE、FH、AC，如圖：
∵BG：GC=DH：HC=2：1，
∴HG∥DB，且HG=

1

3

BD，
∵E、F分別是AB、AD的中點，
∴EF∥BD，且EF=

1

2

BD，
∴四邊形EFHG是梯形，
∴EG、FH相交于一點P，
∵面ABC∩面ACD=AC，
∴EG、FH的交點P必在AC上，
∴EG、FH、AC相交于同一點P．

點評：本題考查了線線平行關(guān)系，主要根據(jù)平面幾何中比例關(guān)系和中位線來證明線線平行，即平面幾何中的知識在空間幾何的一個平面內(nèi)仍然適用．