Question

數(shù)列{a_n}（n∈N）中，a₁=0，當3a_n＜n²時，a_n+1=n²，當3a_n＞n²時，a_n+1=3a_n，求a₂，a₃，a₄，a₅，猜測數(shù)列的通項公式a_n并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：先由遞推公式分別求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，猜測數(shù)列的通項a_n，再用數(shù)學歸納法證明即可．

解答： 解：當a=0時，a₁=0，則3a₁＜1，知a₂=1，
因為3a₂=3＜22，由數(shù)列{a_n}定義知a₃=4．
因為3a₃=12＞9，由數(shù)列定義知a₄=3a₃=12．
又因為3a₄=36＞16，由定義知a₅=3a₄=36由此猜測：當n≥3時，a_n=4×3^n-3； 6分
下面用數(shù)學歸納法去證明：當n≥3時，3an＞n2．
當n=3時，由前面的討論知結(jié)論成立．
假設當n=k（k≥3）時，3a_k＞k²成立．則由數(shù)列{a_n}定義知a_k+1=3a_k＞k²，
從而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0．
所以3a_k+1＞（k+1）²，即當n=k+1（k≥3）時，3a_k+1＞（k+1）²成立．
故當n≥3時，3a_n＞n²，a_n+1=3a_n．
而a₃=4．因此a_n=4×3^n-3.11分
綜上所述，當a=0時，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（ n≥3）（12分）

點評：本題考查推理與證明、數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．