Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果當(dāng)，且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.

Answer 1

【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間和；的單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分和兩種情況討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由題意把式子化為，設(shè)，

由（1）的結(jié)論，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍；或把可化為，設(shè)，求得得出函數(shù)的單調(diào)性，令洛必達(dá)法則求解.

詳解：（1）定義域?yàn)?/span>，，

設(shè)，，

①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，，所以，在上是增函數(shù)，

②當(dāng)時(shí)，，所以，在上是增函數(shù)，

③當(dāng)時(shí)，令得，，

令，解得，；令，解得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間和；的單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）可化為，設(shè)，

由（1）知：

①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，若時(shí)，；

所以，

若時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，式成立.

②當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，所以式不成立，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

解法二：可化為，設(shè)

，，

令，，

，，；，；

，在上，又，

，，，；

所以，；，；在，，

由洛必達(dá)法則 ，所以.