Question

點(diǎn)F（c，0）為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，線段PF與圓（x-

c

3

）²+y²=

b2

9

相切于點(diǎn)Q，且

PQ

=2

QF

，則雙曲線的離心率等于（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  5

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，確定PF₁⊥PF，|PF₁|=b，|PF|=2a+b，即可求得橢圓的離心率．

解答： 解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁，連接F₁，設(shè)圓心為C，則
∵（x-

c

3

）²+y²=

b2

9

，
∴圓心坐標(biāo)為（

c

3

，0），半徑為r=

b

3

∴|F₁F|=3|FC|
∵

PQ

=2

QF

，
∴PF₁∥QC，|PF₁|=b
∴|PF|=2a-b
∵線段PF與圓（x-

c

3

）²+y²=

b2

9

（其中c²=a²+b²）相切于點(diǎn)Q，
∴CQ⊥PF
∴PF₁⊥PF
∴b²+（2a+b）²=4c²
∴b²+（2a+b）²=4（a²+b²）
∴b=2a，
∴c=

5

a
∴e=

c

a

=

5

故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，確定幾何量的關(guān)系是關(guān)鍵．