Question

3．已知f（x）=x²+4x，g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1，h（x）=g（x）+f（x），且函數(shù)h（x）在（0，h（0））處的切線與y=x+1平行，m，n是lnx-ax=0兩根，求證：h（mn）＞h（e²）．

Answer 1

分析 求得h（x）的導(dǎo)數(shù)，求得在x=0處的切線的斜率，解方程可得b=1，進(jìn)而得到h（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，判斷在R上遞增，要證h（mn）＞h（e²），只需證mn＞e²．設(shè)m＞n＞0，k（x）=lnx-ax，原不等式mn＞e²等價(jià)于lnm+lnn＞2?a（m+n）＞2，?$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞$\frac{2}{m+n}$?ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$，令$\frac{m}{n}$=t，則t＞1，ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，設(shè)l（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：h（x）=g（x）+f（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx²-3bx+1+x²+4x，
h′（x）=bx²-2bx-3b+2x+4，
函數(shù)h（x）在（0，h（0））處的切線斜率為k=4-3b=1，
解得b=1，
則有h（x）=$\frac{1}{3}$x³+x+1，h′（x）=x²+1＞0恒成立，
即有h（x）在R上遞增，
要證h（mn）＞h（e²），只需證mn＞e²．
設(shè)m＞n＞0，k（x）=lnx-ax，
∵k（m）=0，k（n）=0，
∴l(xiāng)nm-am=0，lnn-an=0，
∴l(xiāng)nm-lnn=a（m-n），lnm+lnn=a（m+n）
原不等式mn＞e²等價(jià)于lnm+lnn＞2?a（m+n）＞2，
?$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞$\frac{2}{m+n}$?ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$，
令$\frac{m}{n}$=t，則t＞1，
∴l(xiāng)n$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
設(shè)l（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），
∴l(xiāng)′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴函數(shù)l（t）在（1，+∞）是遞增，
∴l(xiāng)（t）＞l（1）=0即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故不等式mn＞e²成立．
即有h（mn）＞h（e²）．

點(diǎn)評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在求切線斜率和函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)和運(yùn)用單調(diào)性，屬于難題．