Question

17．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{3x+4y≤12}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镈．
（1）求區(qū)域D的面積；
（2）若（x，y）∈D，求（x-2）²+（y-2）²的最小值．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域．
（1）直接由三角形的面積公式得答案；
（2）由（x-2）²+（y-2）²的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（2，2）距離的平方，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{3x+4y≤12}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

（1）直線3x+4y=12在x、y軸上的截距分別為4、3，
∴區(qū)域D的面積為${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×4×3=6$；
（2）（x-2）²+（y-2）²的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（2，2）距離的平方，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得P到直線3x+4y=12的距離為$\frac{|3×2+4×2-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{2}{5}$，
∴（x-2）²+（y-2）²的最小值為$\frac{4}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．