Question

13．已知命題p：關(guān)于x的方程log₂（ax²-2x+2）=2在[1，2]內(nèi)有解；命題q：函數(shù)f（x）=m（x²-1）+x-a的圖象與x軸有交點(diǎn)．
（1）若p是真命題．求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于命題p：關(guān)于x的方程log₂（ax²-2x+2）=2在[1，2]內(nèi)有解，化為即$a=\frac{2x+2}{{x}^{2}}$=$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）對(duì)于命題q：函數(shù)f（x）=m（x²-1）+x-a=mx²+x-m-a的圖象與x軸有交點(diǎn)．當(dāng)m=0時(shí)，對(duì)m分類(lèi)討論．由于￢p是￢q的必要不充分條件，可得p是q的充分不必要條件．即可得出．

解答 解：（1）對(duì)于命題p：關(guān)于x的方程log₂（ax²-2x+2）=2在[1，2]內(nèi)有解，
化為ax²-2x+2=2²，即$a=\frac{2x+2}{{x}^{2}}$=$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{x}∈$$[\frac{1}{2}，1]$，∴a∈$[\frac{3}{2}，4]$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{3}{2}，4]$．
（2）對(duì)于命題q：函數(shù)f（x）=m（x²-1）+x-a=mx²+x-m-a的圖象與x軸有交點(diǎn)．
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x-a，a∈R時(shí)，函數(shù)f（x）與x軸有交點(diǎn)；
當(dāng)m≠0時(shí)，則△=1-4m（-m-a）≥0，化為4m²+4ma+1≥0，m＞0時(shí)，a≥$\frac{-4{m}^{2}-1}{4m}$；當(dāng)m＜0時(shí)，a≤$\frac{-4{m}^{2}-1}{4m}$．
∵￢p是￢q的必要不充分條件，
∴p是q的充分不必要條件．
∴m=0時(shí)滿足條件；
m＞0時(shí)，$\frac{-4{m}^{2}-1}{4m}$≤$\frac{3}{2}$，解得m＞0；
當(dāng)m＜0時(shí)，$\frac{-4{m}^{2}-1}{4m}$≥4，解得m≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$，或$\frac{\sqrt{15}-4}{2}$≤m＜0．
綜上可得：m的取值范圍是m≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$，或$\frac{\sqrt{15}-4}{2}$≤m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類(lèi)討論方法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．