Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的方程為2x+（k-3）y-2k+4=0，k∈R．
（Ⅰ）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O′坐標(biāo)為（a，2），求k的值．
（Ⅱ）求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（I）把線段OO′的中點(diǎn)M(

a

2

，1)代入直線l的方程即可解出；
（II）利用點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（I）線段OO′的中點(diǎn)M(

a

2

，1)，代入直線l的方程可得2×

a

2

+（k-3）×1-2k+4=0，
化為k=a+1．
（II）坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l距離d=

|-2k+4|

4+(k-3)2

，
考慮k＞2時(shí)，d=

2

(k-2)+ 5 k-2 -2

≤

2

2 5 -2

=

2 5 +2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)k=2+

5

時(shí)取等號(hào)．
∴d的最大值為：

2 5 +2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．