Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，BC₁=

2

，CC₁=

2

，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E，F(xiàn)分別為棱AB、CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A₁BC₁；
（2）若A到面BCC₁的距離為整數(shù)，且EF與平面ACC₁A₁所成的角的余弦值為

7

3

，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出△CC₁B是以BC為斜邊的等腰直角三角形，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C、OC₁、OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF∥面A₁BC₁．
（2）分別求出平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量和平面AA₁B的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角C-AA₁-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵CC₁=BC₁=

2

，BC=2，
∴△CC₁B是以BC為斜邊的等腰直角三角形，
取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)C₁O，設(shè)OA=b，則AO⊥BC，C₁O⊥BC₁，
∵面ABC⊥面BCC₁B₁，且面ABC∩面BCC₁B₁=BC，
∴AO⊥面BCC₁B₁，C₁O⊥平面ABC，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C、OC₁、OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∴C（1，0，0），C₁（0，1，0），A（0，0，b），A₁（-1，1，b），B（-1，0，0），
∴E（-

1

2

，0，

b

2

），F(xiàn)（

1

2

，

1

2

，0），∴

BC1

=(1，1，0)，

A1C1

=(1，0，-b)，

EF

=(1，

1

2

，-

b

2

)，
設(shè)平面A₁BC₁的一個(gè)法向量為

n

=(b，-b，0)，
∴

n

•

EF

=b-

b

2

-

b

2

=0，
∴

n

⊥

EF

，又EF平包含于面A₁BC₁，EF∥面A₁BC₁．
（2）解：設(shè)平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
又

CC1

=（-1，1，0），

AC

=（1，0，b），
則

CC1 • n1 =-x1+y1=0 A1C1 • n1 =x1-bz1=0

，
令z₁=1，則

n1

=(b，b，1)，
又

EF

=（1，

1

2

，-

b

2

），
∴|cos＜

n1

，

EF

＞|=

b

2b2+1 • 5 4 + b2 4

=

2

3

，
解得b=1，或b=

10

2

，
∵AC為整數(shù)，∴b=1，∴

n1

=（1，1，1），
設(shè)平面AA₁B的一個(gè)法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），
∵

AA1

=(-1，1，b)，

AB

=(-1，0，b)，
∴

AA1 • n2 =-x2+y2+bz2=0 AB • n2 =-x2+bz2=0

，
取x₂=1，得

n2

=(1，1，-1)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1+1-1

3 • 3

=

1

3

，
∴二面角C-AA₁-B的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．