Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+c=

2

b．
（1）求證：B≤

π

2

；
（2）當(dāng)

AB

•

BC

=-2，b=2

3

時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,余弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

，將已知a+c=

2

b代入，然后配方得到cosB≥0得出B≤

π

2

；
（2）由

AB

•

BC

=-2，得accosB=2，再由b²=a²+c²-2accosB=12和已知a+c=

2

b=2

6

，得出ac=4，利用三角形的面積公式求出面積．

解答： （1）證明：（1）∵△ABC中，a+c=

2

b，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1 2 (a-c)2

2ac

≥0，
∴B≤

π

2

；（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取得等號）．…（7分）
（2）∵

AB

•

BC

=-2，
∴accosB=2，
b²=a²+c²-2accosB=12，
∴a²+c²=16，b=2

3

，…（11分）
又a+c=

2

b=2

6

，
∴ac=4，
∴cosB=

1

2

，
∴sinB=

3

2

，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查三角形中的余弦定理、正弦定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，是一道中檔題．