Question

已知雙曲線x²-

y2

2

=1．
（1）求以點(diǎn)A（2，1）為中點(diǎn)的弦的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)A（2，1）的弦中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)A（2，1）是弦P₁P₂的中點(diǎn)，且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出以A（2，1）為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程．
（2）設(shè)M（x，y），則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，兩式相減，利用M是中點(diǎn)及斜率相等可求M得軌跡方程，從而得到其軌跡．

解答： 解：（1）設(shè)以A（2，1）為中點(diǎn)的弦兩端點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．
又2x₁²-y₁²=2，①
2x₂²-y₂²=2，②
①-②得：2（x₁+x₂）（x₁-x₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
又據(jù)對(duì)稱性知x₁≠x₂，
∴A（2，1）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=4，
∴中點(diǎn)弦所在直線方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
（2）設(shè)M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
∴4x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴k_P1P2=

2x

y

，
∵k_AM=

y-1

x-2

，
∴

2x

y

=

y-1

x-2

，
∴2x²-y²-4x+y=0，
即線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是2x²-y²-4x+y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，求得直線P₁P₂的斜率是關(guān)鍵，考查點(diǎn)差法求斜率，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．