Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1，其中a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

（1）求S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜出S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）先確定S_n-1S_n-2S_n+1=0，再計(jì)算S₁，S₂，S₃的值；
（2）由（1）猜想S_n=

n

n+1

，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，已知結(jié)論成立，第二步，先假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合題設(shè)條件證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答： 解：（1）由題設(shè)（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
由（1）得S₁=a₁=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

．
由①可得S₃=

3

4

．
（2）由（1）猜想S_n=

n

n+1

，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．
（i）n=1時(shí)已知結(jié)論成立．
（ii）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即S_k=

k

k+1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，由①得S_k+1=

1

2-Sk

，即S_k+1=

k+1

k+2

，故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上，由（i）、（ii）可知S_n=

n

n+1

對(duì)所有正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查考查了數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立