Question

已知圓錐母線長為6，底面圓半徑長為4，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑，半徑OC與母線PB所成的角的大小等于60°．
（1）求圓錐的側面積和體積．
（2）求異面直線MC與PO所成的角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間角

分析：（1）利用求圓錐的側面積公式和體積公式計算；（2）先作后求，過M作MD⊥AO，從而MD∥PO，∠DMC即異面直線MC與PO所成的角．

解答： （12分） 解：（1）圓錐的側面積S_側=πrl=24π．
∵PO=

62-42

=2

5

，
∴V=

1

3

πr²h=

32 5

3

π…（4分）
（2）連MO，過M作MD⊥AO交AO于點D，連DC．
又∴MD=

5

，．又OC=4，OM=3．
又MD∥PO，∴∠DMC等于異面直線MC與PO所成的角或其補角．
又MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．…（9分）
當∠MOC=60°時，∴MC=

13

．∴cos∠DMC=

MD

MC

=

65

13

，∴∠DMC=arccos

65

13

當∠MOC=120°時，∴MC=

37

．∴cos∠DMC=

MD

MC

=

185

37

，∴∠DMC=arccos

185

37

綜上異面直線MC與PO所成的角等于arccos

65

13

或arccos

185

37

．…（12分）

點評：本題考查圓錐的側面積和體積的計算和異面直線所成的角的計算，屬基礎題．