Question

3．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，O、M、N分別是B₁D₁、AB₁、AD₁的中點(diǎn)，直線A₁C交平面AB₁D₁于點(diǎn)P．
（Ⅰ）證明：MN∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）證明：①A、P、O、C四點(diǎn)共面；②A、P、O三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：MN∥B₁D₁，即可證明MN∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）①證明AA₁與CC₁共面，再證明P、O、∈平面AA₁C₁C，即可證明A、P、O、C四點(diǎn)共面；
②P是平面AA₁C₁C與平面AB₁D₁的公共點(diǎn)，故根據(jù)公理3，P在交線AO上，即可證明A、P、O三點(diǎn)共線．

解答 證明：（Ⅰ）∵M(jìn)、N分別是AB₁、AD₁的中點(diǎn)，
∴MN∥B₁D₁．（2分）
∵B₁D₁?平面CB₁D₁，MN?平面CB₁D₁，
∴MN∥平面CB₁D₁．（4分）
（Ⅱ）①∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴AA₁∥CC₁，即AA₁與CC₁共面．（5分）
∵A₁C₁?平面AA₁C₁C，O∈A₁C₁，∴O∈平面AA₁C₁C．（6分）
∵A₁C?平面AA₁C₁C，P∈A₁C，∴P∈平面AA₁C₁C．（7分）
∴A、P、O、C∈平面AA₁C₁C，即A、P、O、C四點(diǎn)共面．（8分）
②∵AO是平面AA₁C₁C與平面AB₁D₁的交線，且P是平面AA₁C₁C與平面AB₁D₁的公共點(diǎn)，
故根據(jù)公理3，P在交線AO上．即A、P、O三點(diǎn)共線．（11分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查平面的基本性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．