Question

17．已知圓C過點（1，2）和（2，1），且圓心在直線x+y-4=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若一束光線l自點A（-3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到圓C上，若反射點為M（a，0），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）由題意，可知反射線必過定點A′（點是點A關于x軸對稱的點），利用幾何知識知當反射線與已知圓相切時恰好為范圍的臨界狀態(tài)．

解答 解：（Ⅰ）設圓心坐標為（x，4-x），則（x-1）²+（2-x）²=（x-2）²+（3-x）²，
∴x=2，
∴C（2，2），
∴圓C的方程C：（x-2）²+（y-2）²=1；
（Ⅱ）A關于x軸的對稱點A′（-3，-3），設過A′的直線為y+3=k（x+3），
當該直線與⊙C相切時，有$\frac{|2k-2+3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$或k=$\frac{3}{4}$
∴過A′，⊙C的兩條切線為y+3=$\frac{4}{3}$（x+3），y+3=$\frac{3}{4}$（x+3），
令y=0，得x₁=-$\frac{3}{4}$，x₂=1
∴反射點M在x軸上的范圍是[-$\frac{3}{4}$，1]．

點評 重點考查了點關于線對稱點的求法，還考查了解決問題是抓住臨界狀態(tài)這一特殊位置求解的思想．