Question

10．已知定義在[-2，2]上的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），其圖象如圖所示：

則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是結(jié)論（　�。�
①方程f[g（x）]=0有且僅有6個(gè)根；   ②方程g[f（x）]=0有且僅有3個(gè)根；
③方程f[f（x）]=0有且僅有5個(gè)根；   ④方程g[g（x）]=0有且僅有4個(gè)根．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由f[g（x）]=0及f（x）的圖象可得g（x）=x₁，0，x₂，且-2＜x₁＜-1，1＜x₂＜2；再由g（x）的圖象可得方程f[g（x）]=0有且僅有6個(gè)根；利用這個(gè)方法依次對(duì)②③④判斷即可．

解答 解：由f[g（x）]=0得，
g（x）=x₁，0，x₂，且-2＜x₁＜-1，1＜x₂＜2；
g（x）=x₁有且僅有兩個(gè)解，
g（x）=0有且僅有兩個(gè)解，
g（x）=x₂有且僅有兩個(gè)解，
故方程f[g（x）]=0有且僅有6個(gè)根，故①正確；
由g[f（x）]=0得，
f（x）=x₁，x₂，且-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1；
f（x）=x₁有且僅有一個(gè)解，
f（x）=x₂有且僅有三個(gè)解，
故方程f[f（x）]=0有且僅有4個(gè)根，故②不正確；
由f[f（x）]=0得，
f（x）=x₁，0，x₂，且-2＜x₁＜-1，1＜x₂＜2；
f（x）=x₁有且僅有一個(gè)解，
f（x）=0有且僅有兩個(gè)解，
f（x）=x₂有且僅有一個(gè)解，
故方程f[f（x）]=0有且僅有4個(gè)根，故③不正確；
由g[g（x）]=0得，
g（x）=x₁，x₂，且-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1；
g（x）=x₁有且僅有兩個(gè)解，
g（x）=x₂有且僅有兩個(gè)解，
故方程f[f（x）]=0有且僅有4個(gè)根，故④正確；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．