Question

15．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)M（2，1），N（2$\sqrt{2}$，0）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，直線MA與MB的斜率分別為k₁，k₂，試問(wèn)：k₁+k₂是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓E的方程為mx²+ny²=1，代入M，N的坐標(biāo)，解方程即可得到橢圓的方程；
（2）可設(shè)直線l的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到斜率之和為定值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓E的方程為mx²+ny²=1，
將M（2，1），N（2$\sqrt{2}$，0）代入橢圓E的方程，
得$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=1}\\{8m=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{2}$，
所以橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）k₁+k₂為定值0．
因?yàn)閗_OM=$\frac{1}{2}$，且直線l平行于OM，
所以可設(shè)直線l的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+t\\{x^2}+4{y^2}-8=0\end{array}\right.$得x²+2tx+2t²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-2t，{x_1}{x_2}=2{t^2}-4$，
又k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$，
故k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
又${y_1}=\frac{1}{2}{x_1}+t，{y_2}=\frac{1}{2}{x_2}+t$，
所以上式分子=$（\frac{1}{2}{x_1}+t-1）（{x_2}-2）+（\frac{1}{2}{x_2}+t-1）（{x_1}-2）$${x_1}{x_2}+（t-2）（{x_1}+{x_2}）-4（t-1）=2{t^2}-4+（t-2）（-2t）-4（t-1）=0$，
故k₁+k₂=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．