Question

已知f（x）=x²-2ax-8a²（a∈R），則下列四個(gè)結(jié)論：
①y=f（x）的最小值為-9a²．
②對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x₁、x₂，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
③不等式f（x）＜0的解集是（-2a，4a）．
④若f（x）＞x-9a²恒成立，則實(shí)數(shù)a能取的最大整數(shù)是-1．
基中正確的是

 

（多填、少填、錯(cuò)填均得零分）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最小值，利用作差法比較f（

x1+x2

2

）和

f(x1)+f(x2)

2

的大小，利用不等式的解法，求解集，利用不等式恒成立的條件，函數(shù)的最小值大于x-9a²，求出即可．

解答： 解：∵f（x）=x²-2ax-8a²=（x-a）²-9a²，
∴y=f（x）的最小值為-9a²．
∵f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=(

x1+x2

2

)2-2a•

x1+x2

2

-8a2-

1

2

（x₁²-2ax₁-8a²+x₂²-2ax₂-8a²）
=-(

x1-x2

2

)2≤0．
∴對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x₁、x₂，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
∵x²-2ax-8a²＜0，即（x+2a）（x-4a）＜0，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，解集是（-2a，4a）．當(dāng)a＜0時(shí)，解集是（4a，-2a），當(dāng)a=0時(shí)，解集為空集．
∵f（x）＞x-9a²恒成立，則-9a²＞x-9a²，即x＜0，
∴f（x）＞x-9a²恒成立，則實(shí)數(shù)a能取的最大整數(shù)是-1．
故其中正確的是①②④．
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，有關(guān)二次函數(shù)的最值，不等式的解法，屬于中檔題．