Question

11．若存在非零實數(shù)x，y，使不等式（6a-1）x²-2xy+ay²≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． （-∞-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 首先分離參數(shù)a≥$\frac{x^2+2xy}{6x^2+y^2}$，再通過換元，分類討論，最后運用基本不等式求函數(shù)最值．

解答 解：∵x，y為非零實數(shù)，∴對不等式（6a-1）x²-2xy+ay²≥0分離參數(shù)a得，
a≥$\frac{x^2+2xy}{6x^2+y^2}$=$\frac{1+2t}{6+t^2}$，其中t=$\frac{y}{x}$∈（-∞，0）∪（0，+∞），
記f（t）=$\frac{1+2t}{6+t^2}$=$\frac{4（2t+1）}{（2t+1）^2-2（2t+1）+25}$=$\frac{4}{（2t+1）+\frac{25}{2t+1}-2}$，
①當2t+1=0時，f（t）=0；
②當2t+1＞0時，（2t+1）+$\frac{25}{2t+1}$≥10，所以，f（t）∈（0，$\frac{1}{2}$]；
③當2t+1＜0時，（2t+1）+$\frac{25}{2t+1}$≤-10，所以，f（t）∈[-$\frac{1}{3}$，0）；
綜合以上討論得，f（t）∈[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
由于存在非零實數(shù)x，y使得不等式a≥$\frac{x^2+2xy}{6x^2+y^2}$成立，
所以，a≥[$\frac{x^2+2xy}{6x^2+y^2}$]_min=-$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，涉及到分離參數(shù)法，換元法，分類討論和函數(shù)思想，屬于中檔題．