Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上的一點(diǎn)，滿足（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且|PF₁|=

3

|PF₂|，則雙曲線離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由向量的三角形法則和向量的數(shù)量積的性質(zhì)，可得|

OP

|=|

OF2

|=c，即有O為△PF₁F₂外接圓的圓心，即有∠F₁PF₂=90°，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，化簡整理，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0，
即（

OP

+

OF2

）•（

OP

-

OF2

）=0，
即有

OP

2=

OF2

2，
則|

OP

|=|

OF2

|=c，
即有O為△PF₁F₂外接圓的圓心，
即有∠F₁PF₂=90°，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|=

3

|PF₂|，
則|PF₁|=（3+

3

）a，|PF₂|=（

3

+1）a，
由|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即（3+

3

）²a²+（

3

+1）²a²=4c²，
即有c²=（4+2

3

）a²，
e=

c

a

=

3

+1．
故答案為：1+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，主要考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查勾股定理的運(yùn)用，運(yùn)用平面幾何中直徑所對(duì)的圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．