Question

20．作短軸長為2b的橢圓的內(nèi)接矩形，若該矩形面積的最大值的取值范圍是[3b²，4b²]，則橢圓離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]
• D． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 如圖所示，不妨設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），設(shè)矩形的一條對角線所在方程為y=kx（k＞0），代入橢圓方程可得：x²，y²，可得矩形的面積S=2|x|×2|y|，再利用基本不等式的性質(zhì)、橢圓離心率的計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，不妨設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
設(shè)矩形的一條對角線所在方程為y=kx（k＞0），
代入橢圓方程可得：x²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴矩形的面積S=2|x|×2|y|=4$\frac{k{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{4{a}^{2}^{2}}{\frac{^{2}}{k}+{a}^{2}k}$≤$\frac{4{a}^{2}^{2}}{2\sqrt{\frac{^{2}}{k}•{a}^{2}k}}$=2ab，當且僅當k=$\frac{a}$時取等號．
∴3b²≤2ab≤4b²，
化為$\frac{1}{2}≤\frac{a}≤\frac{2}{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、矩形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．