Question

2．已知正方形ABCD的邊長為6，空間有一點M（不在平面ABCD內(nèi)）滿足|MA|+|MB|=10，則三棱錐C-ABM的體積的最大值是24．

Answer 1

分析 由三棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積，底面△ABC的面積一定，高最大時，其體積最大；高由頂點M確定，當平面MAB⊥平面ABCD時，高最大，體積也最大．

解答 解：如圖所示，因為三棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積，
底面△ABC的面積是定值，當高最大時，體積最大；
所以，當平面MAB⊥平面ABCD時，過點M作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
在△MAB中，|MA|+|MB|=10，AB=6，
所以，當|MA|=|MB|=5時，高MN最大，
且MN=$\sqrt{M{A}^{2}-A{N}^{2}}$=4，
所以，三棱錐A-BCM的最大體積為：
V_A-BCM=V_M-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•MN=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×6×4=24．
故答案為：24．

點評 本題通過作圖知，側(cè)面與底面垂直時，得出高最大時體積也最大；其解題的關(guān)鍵是正確作圖，得高何時最大．