Question

已知x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實(shí)根，函數(shù)f(x)=

2x-k

x2+1

定義域?yàn)閇x₁，x₂]，g（k）=f（x）_max-f（x）_min，若對任意k∈R，恒只有g(k)≤a

1+k2

成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[

  8

  5

  ，+∞)
• B、(-∞，

  8

  5

  ]
• C、[

  3

  5

  ，+∞)
• D、[

  3

  5

  ，

  8

  5

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先求f′（x）=

-2x2+2kx+2

(x2+1)2

，根據(jù)x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實(shí)根，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x∈[x₁，x₂]時，4x²-4kx-1≤0，則可判斷導(dǎo)數(shù)分子的符號，因此可判斷導(dǎo)數(shù)的符號，由此得到g（k），則利用分離常數(shù)的方法求結(jié)論中a的范圍，此時只需求出關(guān)于k的函數(shù)的最值即可．

解答： 解：由已知f′（x）=

-2x2+2kx+2

(x2+1)2

，
又因?yàn)閤₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實(shí)根，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x∈[x₁，x₂]時，4x²-4kx-1≤0，
所以-

1

2

[4x²-4kx-1-3]≥

3

2

恒成立，故f′（x）＞0在[x₁，x₂]恒成立，故f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
所以g（k）=f（x）_max-f（x）_min=f（x₂）-f（x₁）=

2x2-k

x22+1

-

2x1-k

x12+1

①，又因?yàn)閤₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實(shí)根，
所以x1+x2=k，x1x2=-

1

4

，代入①式化簡后得：g（k）=

k2+1 (16k2+40)

16k2+25

，由對任意k∈R，g(k)≤a

1+k2

恒成立得：
a≥

16k2+40

16k2+25

=1+

15

16k2+25

，結(jié)合k²≥0，所以a≥1+

3

5

=

8

5

，
故a的取值范圍是a≥

8

5

．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了不等式的恒成立問題，一般是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，本題的關(guān)鍵是利用已知條件判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再用韋達(dá)定理實(shí)現(xiàn)對g（k）表達(dá)式的化簡．