Question

設函數，其中a＞0．
（1）若函數y=f（x）在x=-1處取得極值，求a的值；
（2）已知函數f（x）有3個不同的零點，分別為0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數，可得f′（x）=-x²+2x+（a²-1）
∵函數y=f（x）在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=0
∴-1-2+（a²-1）=0
∴a=±2
經檢驗，a=2符合題意；
（2）由題意，=x（）=
∵函數f（x）有3個不同的零點，分別為0、x₁、x₂，
∴=0有兩個相異的實根x₁、x₂，
∴△=1+＞0，∴a＜-（舍去），或a＞
且x₁+x₂=3
∵x₁＜x₂，∴2x₂＞x₁+x₂=3，∴x₂＞＞1
①若x₁≤1＜x₂，則f（1）=≥0，而f（x₁）=0，不符合題意；
②若1＜x₁＜x₂，則對任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₁≥0，x-x₂≤0，
∴≥0
又f（x₁）=0，∴f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0
∴對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，等價于f（1）=＜0
∴
綜上可得a的取值范圍為．
分析：（1）求導函數，利用函數y=f（x）在x=-1處取得極值，可得f′（-1）=0，求出a的值，檢驗可得結論；
（2）先確定=0有兩個相異的實根x₁、x₂，再進行分類討論，利用對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，即可求a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．