已知圓錐曲線E的兩個焦點坐標是F1（-
2
，0），F(xiàn)2（
2
，0），且離心率為e=
2
；
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線E表示曲線E的y軸左邊部分，若直線y=kx-1與曲線E相交于A，B兩點，求k的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果|
AB
|=6
3
，且曲線E上存在點C，使
OA
+
OB
=m
OC
，求m的值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由e=
2
知，曲線E是以F1（-
2
，0），F(xiàn)2（
2
，0）為焦點的雙曲線，由此能求出曲線E的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組：
y=kx-1
x2-y2=1，x＜0
，得（1-k2）x2+2kx-2=0，x＜0，由此利用根的判別式和韋達定理能求出k的取值范圍．
（Ⅲ）由6
3
=|
AB
|=
1+k2
|x1-x2|推導出k=-
5
2
，從而直線AB的方程為
5
2
x+y+1=0．設(shè)C（x0，y0），由已知
OA
+
OB
=m
OC
，得C（
-4
5
m
，
8
m
）．由C在曲線E上，求得m=4．
解答： 解：（Ⅰ）由e=
2
知，曲線E是以F1（-
2
，0），F(xiàn)2（
2
，0）為焦點的雙曲線，
且c=
2
，
c
a
=
2
，解得a=1，∴b2=2-1=1，
故雙曲線E的方程是x2-y2=1． …（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立方程組：
y=kx-1
x2-y2=1，x＜0
，得（1-k2）x2+2kx-2=0，x＜0，
從而有：
1-k2≠0
△=(2k)2+8(1-k2)＞0
x1+x2=
-2k
1-k2
＜0
x1x2=
-2
1-k2
＞0
，解得-
2
＜k＜-1，
∴k的取值范圍是（-
2
，-1）．…（8分）
（Ⅲ）∵6
3
=|
AB
|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2 
=2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
，
整理得28k4-55k2+25=0，解得k2=
5
7
或k2=
5
4
，
注意到-
2
＜k＜-1，k=-
5
2
，
故直線AB的方程為
5
2
x+y+1=0．…（10分）
設(shè)C（x0，y0），由已知
OA
+
OB
=m
OC
，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0），
又x1+x2=
-2k
1-k2
=-4
5
，y1+y2=k（x1+x2）-2=8，∴C（
-4
5
m
，
8
m
）．
C在曲線E上，得
80
m2
-
64
m2
=1，解得m=±4，
但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，
∴m=4為所求．…（13分）
點評：本題考查曲線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查實數(shù)的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．
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1
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lim
n→∞
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x2
a2
+
y2
2
=1（a＞2）的右焦點為F1，直線l：x=
a2
a2-2
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OF1
=2
F1A
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PE
•
PF
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3
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π
2
．
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3
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3
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x2
a2
+
y2
b2
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tan(α+π)tan2(α+3π)
tan(α-π)tan(-α-π)
=
 
．

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