Question

已知

p

=(x，m)，

q

=(x+a，1)，二次函數(shù)f(x)=

p

•

q

+1，關(guān)于x的不等式f（x）＞（2m-1）x+1-m²的解集為（-∞，m）∪（m+1，+∞），其中m為非零常數(shù)，設(shè)g(x)=

f(x)

x-1

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若存在一條與y軸垂直的直線和函數(shù)Γ（x）=g（x）-x+lnx的圖象相切，且切點的橫坐標x₀滿足|x₀-1|+x₀＞3，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當實數(shù)k取何值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值？并求出相應的極值點．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)在某點取得極值的條件,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用向量的數(shù)量積可得函數(shù)f（x）=x²+ax+m+1，利用一元二次不等式的解集和相應的一元二次方程的實數(shù)根的關(guān)系可知m和m+1是方程x²+（a+1-2m）x+m²+m=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出a；
（II）由存在一條與y軸垂直的直線和Γ（x）的圖象相切，且切點的橫坐標為x₀，?�！�(x0)=

1

x0

-

m

(x0-1)2

=0⇒m=x0+

1

x0

-2；由切點的橫坐標x₀滿足|x₀-1|+x₀＞3，可得x₀＞2．令h(x)=x+

1

x

-2（x＞2），利用導數(shù)可得其單調(diào)性，即可得到m的取值范圍；
（III）由φ（x）=g（x）-kln（x-1）=(x-1)+

m

x-1

-kln（x-1）的定義域為（1，+∞）．可得φ'（x）=1-

m

(x-1)2

-

k

x-1

=

x2-(2+k)x+k-m+1

(x-1)2

．方程x²-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判別式△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m．通過對△和m分類討論即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵

p

=(x，m)，

q

=(x+a，1)，f(x)=

p

•

q

+1，
∴二次函數(shù)f（x）=x²+ax+m+1，
關(guān)于x的不等式f（x）＞（2m-1）x+1-m²的解集為（-∞，m）∪（m+1，+∞），
也就是不等式x²+（a+1-2m）x+m²+m＞0的解集為（-∞，m）∪（m+1，+∞），
∴m和m+1是方程x²+（a+1-2m）x+m²+m=0的兩個根．
由韋達定理得：m+（m+1）=-（a+1-2m）
∴a=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=

f(x)

x-1

=

x2-2x+m+1

x-1

=(x-1)+

m

x-1

，
∴Γ(x)=g(x)-x+lnx=lnx-1+

m

x-1

，Γ′(x)=

1

x

-

m

(x-1)2

，
∵存在一條與y軸垂直的直線和Γ（x）的圖象相切，且切點的橫坐標為x₀，
∴�！�(x0)=

1

x0

-

m

(x0-1)2

=0⇒m=x0+

1

x0

-2，
∵|x₀-1|+x₀＞3，∴x₀＞2．
令h(x)=x+

1

x

-2（x＞2），
則h′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，
當x＞2時，h′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

＞0，∴h(x)=x+

1

x

-2在（2，+∞）上為增函數(shù)，
從而h(x0)=x0+

1

x0

-2＞h(2)=

1

2

，
∴m＞

1

2

．
（Ⅲ）φ（x）=g（x）-kln（x-1）=(x-1)+

m

x-1

-kln（x-1）的定義域為（1，+∞）．
∴φ'（x）=1-

m

(x-1)2

-

k

x-1

=

x2-(2+k)x+k-m+1

(x-1)2

．
方程x²-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判別式△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m．
①若m＞0時，△＞0，方程（*）的兩個實根為x1=

2+k- k2+4m

2

＜1，
或x2=

2+k+ k2+4m

2

＞1，
則x∈（1，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數(shù)φ（x）在（1，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
此時函數(shù)φ（x）存在極小值，極小值點為x₂，k可取任意實數(shù)．
②若m＜0時，當△≤0，即-2

-m

≤k≤2

-m

時，x²-（2+k）x+k-m+1≥0恒成立，φ'（x）≥0，φ（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
此時φ（x）在（1，+∞）上沒有極值．
下面只需考慮△＞0的情況
由△＞0，得k＜-2

-m

或k＞2

-m

，
當k＜-2

-m

，則x1=

2+k- k2+4m

2

＜1，x2=

2+k+ k2+4m

2

＜1，
故x∈（1，+∞）時，φ'（x）＞0，
∴函數(shù)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)φ（x）沒有極值．
當k＞2

-m

時，x1=

2+k- k2+4m

2

＞1，x2=

2+k+ k2+4m

2

＞1，
則x∈（1，x₁）時，φ'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數(shù)φ（x）在（1，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
此時函數(shù)φ（x）存在極大值和極小值，極小值點x₂，有極大值點x₁．
綜上所述，若m＞0時，k可取任意實數(shù)，此時函數(shù)φ（x）有極小值且極小值點為x₂；
若m＜0時，當 k＞2

-m

時，函數(shù)φ（x）有極大值和極小值，
此時極小值點為x₂，極大值點為x₁（其中x1=

2+k- k2+4m

2

，x2=

2+k+ k2+4m

2

．

點評：熟練掌握向量的數(shù)量積、一元二次不等式的解集和相應的一元二次方程的實數(shù)根的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等性質(zhì)、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．