Question

如圖，AB為半圓的直徑，P為半圓上一點(diǎn)，|AB|=10，∠PAB=a，且sina=

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，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．
（1）求A、B為焦點(diǎn)且過P點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）動圓M過點(diǎn)A，且與以B為圓心，以2

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為半徑的圓相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得到|PB|，利用勾股定理即可得到|PA|，從而得到2a，|AB|=2c，再利用b²=a²-c²即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）利用兩圓外切的性質(zhì)和雙曲線的定義即可得出．

解答： 解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
∵AB為半圓的直徑，P為半圓上一點(diǎn)，∴∠APB=90°．
在Rt△APB中，|PB|=|AB|sinα=10×

4

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=8，∴|AP|=6．
∴|PA|+|PB|=6+8=14=2a，解得a=7，
∵2c=10，∴c=5，
∴b²=a²-c²=24．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

49

+

y2

24

=1．
（2）由題意可得：|MB|-|MA|=2

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＜10=|AB|，
故動圓圓心M的軌跡在雙曲線的左支上，
∵2c^′=10，2a^′=2

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，∴c^′=5，a^′=

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，(b′)2=52-(

5

)2=20．
其方程為

x2

5

-

y2

20

=1(x≤-

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)．

點(diǎn)評：熟練掌握圓錐曲線的定義和性質(zhì)、兩圓外切的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．