Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=a（a≠3，a∈R），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*
（Ⅰ）設(shè)b_n=S_n-3ⁿ ，n∈N^*，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式得到Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，結(jié)合b_n=S_n-3ⁿ 可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a-3，公比為2的等比數(shù)列，則{b_n}的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的{b_n}的通項(xiàng)公式得到Sn=3n+(a-3)•2n-1．任何再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求解
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由a_n+1≥a_n分離參數(shù)a，然后運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
又a_n+1=S_n+1-S_n，
∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，即Sn+1=2Sn+3n，
∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)．
∴b_n+1=2b_n．
又b₁=S₁-3=a₁-3≠0（a≠3），
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a-3，公比為2的等比數(shù)列，
因此bn=(a-3)•2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n-3ⁿ =（a-3）•2^n-1．
∴Sn=3n+(a-3)•2n-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=[3n+(a-3)•2n-1]-[3n-1+(a-3)•2n-2]
=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2．
而當(dāng)n=1時(shí)，2•3^n-1+（a-3）•2^n-2=2+（a-3）•2^-1≠a₁，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

a(n=1) 2•3n-1+(a-3)•2n-2(n≥2)

；
（Ⅲ）由a₂≥a₁，得2•3+（a-3）•1≥a，即3≥0，此時(shí)對(duì)任何a≠3的實(shí)數(shù)a恒成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1≥a_n，得
2•3ⁿ+（a-3）•2^n-1≥2•3^n-1+（a-3）•2^n-2，
即（a-3）•2^n-2≥2•3^n-1-2•3ⁿ=-4•3^n-1．
∴a≥3-8•(

3

2

)n-1．
∵n≥2時(shí)3-8•(

3

2

)n-1的最大值為-9，
∴a≥-9且a≠3．
綜上，所求a的范圍是[-9，3）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，關(guān)鍵是構(gòu)造出等比數(shù)列{b_n}，是壓軸題．