Question

已知底面是矩形的四棱錐P-ABCD，PA⊥底面AC，E是PD的中點，F(xiàn)是AB的中點，以PB為直徑的球的面積為4π，PA=1，二面角P-DC-B的大小是45°．
（1）求證：AE⊥CD；AE∥面PCF；
（2）求證：點E在以PB為直徑的球面上．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間兩點間的距離公式,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得PA⊥CD，CD⊥AD，從而CD⊥AE，取PC的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則四邊形AEGF是平行四邊形，由此能證明AF∥面PCF．
（2）由（1）知CD⊥面PAD，故∠PDA是二面角P-DC-B的平面角，∠PDA=45°，取PB中點M，連結(jié)ME、BD，由此利用已知條件能證明E點在以PB為直徑的球面上．

解答： 證明：（1）∵PA⊥面AC，CD?面AC，∴PA⊥CD，
又ABCD是菱形，∴CD⊥AD，
∵AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
取PC的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，
∵E、F分別是PD、AB的中點，
∴EF

∥

.

AF，∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴AE∥FG，∵面FG?面PCF，AF不包含面PCF，
∴AF∥面PCF．
（2）由（1）知CD⊥面PAD，故∠PDA是二面角P-DC-B的平面角，
∴∠PDA=45°，
∴PA=AD=1，AE⊥PD，E為PD中點，
取PB中點M，連結(jié)ME、BD，則ME=

1

2

BD，
由條件得4π(

BP

2

)2=4π，∴BP=2，
∵PA⊥面AC，AB?面AC，∴PA⊥AB，△PAB為直角三角形，
∴AB=

PB2-PA2

=

3

，
在Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=2，
∴ME=

1

2

BD=1=

PB

2

，
∴E點在以PB為直徑的球面上．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點在球面上的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．