【題目】公元2222年,有一種高危傳染病在全球范圍內(nèi)蔓延,被感染者的潛伏期可以長(zhǎng)達(dá)10年,期間會(huì)有約0.05%的概率傳染給他人,一旦發(fā)病三天內(nèi)即死亡,某城市總?cè)丝诩s200萬人,專家分析其中約有1000名傳染者,為了防止疾病繼續(xù)擴(kuò)散,疾病預(yù)防控制中心現(xiàn)決定對(duì)全市人口進(jìn)行血液檢測(cè)以篩選出被感染者,由于檢測(cè)試劑十分昂貴且數(shù)量有限,需要將血樣混合后一起檢測(cè)以節(jié)約試劑,已知感染者的檢測(cè)結(jié)果為陽性,末被感染者為陰性,另外檢測(cè)結(jié)果為陽性的血樣與檢測(cè)結(jié)果為陰性的血樣混合后檢測(cè)結(jié)果為陽性,同一檢測(cè)結(jié)果的血樣混合后結(jié)果不發(fā)生改變.
(1)若對(duì)全市人口進(jìn)行平均分組,同一分組的血樣將被混合到一起檢測(cè),若發(fā)現(xiàn)結(jié)果為陽性, 則再在該分組內(nèi)逐個(gè)檢測(cè)排査,設(shè)每個(gè)組個(gè)人,那么最壞情況下,需要進(jìn)行多少次檢測(cè)可以找到所有的被感染者?在當(dāng)前方案下,若要使檢測(cè)的次數(shù)盡可能少,每個(gè)分組的最優(yōu)人數(shù)?
(2)在(1)的檢測(cè)方案中,對(duì)于檢測(cè)結(jié)果為陽性的組來取逐一檢測(cè)排査的方法并不是很好, 或可將這些組的血樣再進(jìn)行一次分組混合血樣檢測(cè),然后再進(jìn)行逐一排査,仍然考慮最壞的情況,請(qǐng)問兩次要如何分組,使檢測(cè)總次數(shù)盡可能少?
(3)在(2)的檢測(cè)方案中,進(jìn)行了兩次分組混合血樣檢測(cè),仍然考慮最壞情況,若再進(jìn)行若干次分組混合血樣檢測(cè),是否會(huì)使檢測(cè)次數(shù)更少?請(qǐng)給出最優(yōu)的檢測(cè)方案.
【答案】(1) 次,45人;(2)第一次每組159人,第二次每組13人;(3)見解析
【解析】
(1)根據(jù)最壞的情況是1000名被感染者分布在其中1000組里,可得檢測(cè)總次數(shù),再用基本不等式可得;
(2)設(shè)第一次每個(gè)組人,第二次每個(gè)組人,可得檢測(cè)總次數(shù),再用三元基本不等式,結(jié)合整數(shù)解可得;
(3)設(shè)第次分組中,每組人數(shù)為,則可得檢測(cè)總次數(shù),然后運(yùn)用元基本不等式,結(jié)合,可得的最小值,進(jìn)而得到所求結(jié)果.
(1)200萬人平均分組,每組人,總共分組,每組檢測(cè)一次,共需檢測(cè)次,最壞的情況是1000名被感染者分布在其中1000組里,每組一人,然后在這1000組里逐個(gè)排查,每組需檢測(cè)次,共需檢測(cè)1000次,所以找到所有的被感染者共需檢測(cè)次,
由,
當(dāng)且僅當(dāng),所以 ,所以時(shí)等號(hào)成立.
由于為正整數(shù),
所以當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
因?yàn)?/span>,
所以要使檢測(cè)總次數(shù)盡可能少,每個(gè)分組的最優(yōu)人數(shù)為45人.
(2)設(shè)第一次每個(gè)組人,分組;第二次每個(gè)組人,分組
第一次需檢測(cè)次,由(1)的思路知,第二次共需檢測(cè)次,
所以兩次檢測(cè)的總次數(shù)為,
因?yàn)?/span>
,
當(dāng)且僅當(dāng),
即, ,時(shí)等號(hào)成立,
因?yàn)?/span>,,且為正整數(shù),
且,,
所以,時(shí)兩次檢測(cè)的總次數(shù)盡可能少,
則第一次每個(gè)組159人,第二次每個(gè)組13人,可使檢測(cè)總次數(shù)盡可能少.
(3)假設(shè)進(jìn)行次這樣的分組檢測(cè),可以達(dá)到檢測(cè)次數(shù)更少,
設(shè)第次分組中,每組人數(shù)為,
則總共檢測(cè)次數(shù)為,
因?yàn)?/span>
,
當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,
所以,
所以,
所以,
所以,
當(dāng)時(shí),,
因?yàn)?/span>,且為正整數(shù),
所以可取,即這樣進(jìn)行了18次檢驗(yàn)可得到總次數(shù)更小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn).
(1)如果直線過拋物線的焦點(diǎn),求的值;
(2)如果 ,證明:直線必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).
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【題目】某位同學(xué)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),為了對(duì)白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他分別記錄了12月11日至12月15日的白天平均氣溫 (℃)與該小賣部的這種飲料銷量(杯),得到如下數(shù)據(jù):
日期 | 12月11日 | 12月12日 | 12月13日 | 12月14日 | 12月15日 |
平均氣溫(℃) | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
銷量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)據(jù)(1)中所得的線性回歸方程,若天氣預(yù)報(bào)12月16日的白天平均氣溫7(℃),請(qǐng)預(yù)測(cè)該奶茶店這種飲料的銷量. (參考公式:,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線是極坐標(biāo)方程式,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線是參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn),若直線與曲線交于兩點(diǎn),且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
按照某學(xué)者的理論,假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元,如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元,則他的滿意度為;如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元,則他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和,則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為.
現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元,乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元,設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元,甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為,乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為
(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式;當(dāng)時(shí),求證:=;
(2)設(shè),當(dāng)、分別為多少時(shí),甲、乙兩人的綜合滿意度均最大?最大的綜合滿意度為多少?(3)記(2)中最大的綜合滿意度為,試問能否適當(dāng)選取、的值,使得和同時(shí)成立,但等號(hào)不同時(shí)成立?試說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在定義域上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若函數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,已知, .
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸相交于點(diǎn),連接、.
(1)求線段的長(zhǎng);
(2)若平分,求的值;
(3)該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使得為等邊三角形?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將正方形沿對(duì)角線折成直二面角,有如下四個(gè)結(jié)論:
①;
②是等邊三角形;
③與平面所成的角為;
④與所成的角為.
其中錯(cuò)誤的結(jié)論是____________.
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