Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²（x∈R），g（x）滿足g′（x）=

a

x

（a∈R，x＞0），且g（e）=a，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）已知h（x）=e^1-xf（x），求h（x）在（1，h（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥-x²+（a+2）x成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）寫出h（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點，即可得到切線方程；
（Ⅱ）設(shè)出g（x）的表達(dá)式，由g（e）=a，求出g（x），運用參數(shù)分離得到a≤

x2-2x

x-lnx

，令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，運用導(dǎo)數(shù)由條件可知求出最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）h（x）=e^1-xf（x）=（-x³+x²）e^1-x，
h′（x）=（x³-4x²+2x）e^1-x，
∴h（1）=0，h′（1）=-1，
∴h（x）在（1，h（1））處的切線方程為：y=1-x；
（Ⅱ）∵g′（x）=

a

x

（a∈R，x＞0），
∴g（x）=alnx+c，∴g（e）=a+c=a，c=0，即g（x）=alnx，
由g（x）≥-x²+（a+2）x得（x-lnx）a≤x²-2x，
由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等號不能同時成立，則lnx＜x，
從而a≤

x2-2x

x-lnx

，由于存在x∈[1，e]，使得g（x）≥-x²+（a+2）x成立，
則a≤

x2-2x

x-lnx

的最大值，
令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，t′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
∴t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上遞增，
∴t（x）_max=t（e）=

e2-2e

e-1

，
故a≤

e2-2e

e-1

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程，求最值，同時考查不等式的存在性問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意與恒成立問題的區(qū)別，是一道易錯題．