Question

在平面直角坐標系xOy中，直線y=-2x+a與圓x²+y²=9交于A、B兩點．
（1）求證：若a=2

6

，則

OA

•

OB

=

3

5

是真命題；
（2）寫出（1）中的逆命題，并判斷其真假．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）直線y=-2x+2

6

代入圓x²+y²=9，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積公式，即可得出結論；
（2）逆命題：若

OA

•

OB

=

3

5

，則a=2

6

，為假命題，與（1）同法，可得

a2-9

5

+

a2-36

5

=

3

5

．

解答： （1）證明：直線y=-2x+2

6

代入圓x²+y²=9，整理可得5x²-8

6

x+15=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8 6

5

，x₁x₂=3，
∴y₁y₂=（-2x₁+2

6

）（-2x₂+2

6

）=4x₁x₂-4

6

（x₁+x₂）+24=-

12

5

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=3-

12

5

=

3

5

；
（2）解：逆命題：若

OA

•

OB

=

3

5

，則a=2

6

，為假命題．
直線y=-2x+a代入圓x²+y²=9，整理可得5x²-4ax+a²-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4a

5

，x₁x₂=

a2-9

5

，
∴y₁y₂=（-2x₁+a）（-2x₂+a）=4x₁x₂-2a（x₁+x₂）+a²=

a2-36

5

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

a2-9

5

+

a2-36

5

=

3

5

，
∴a=±2

6

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查小時分析解決問題的能力，屬于中檔題．