Question

二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（0，-2），且在x=1處切線的斜率為3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的在區(qū)間[t，t+1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的x₁∈（0，1），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂（其中a＞0且a≠1）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得f（0）=-2，f′（1）=3，由此構(gòu)造方程組，求出b，c的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的在區(qū)間[t，t+1]上不單調(diào)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在給定區(qū)間上，由此構(gòu)造關(guān)于t的不等式，解不等式可得實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的x₁∈（0，1），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂（其中a＞0且a≠1）成立，只須滿足log_ax₂ 不小于x∈（0，1）時(shí)，f（x）+2=x²+x的上界，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）由二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（0，-2）得：
f（0）=-2，即c=-2，（1分）
又∵在x=1處切線的斜率為3．
∴f′（1）=2+b=3，即b=1（3分）
∴f（x）=x²+x-2                         （4分）
（2）函數(shù)f（x）=x²+x-2圖象的開(kāi)口朝上，對(duì)稱軸為x=-

1

2

，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，-

1

2

）上單減，在（-

1

2

，+∞）上單增．
若f（x）在上[t，t+1]不單調(diào)，
則有t＜-

1

2

＜t+1，即-

3

2

＜t＜-

1

2

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-

3

2

，-

1

2

）．（8分）
（3）當(dāng)x₁∈（0，1）時(shí)，f（x₁）+2=x₁²+x₁，
∵在x₁∈（0，1）上單增
∴f（x₁）+2∈（0，2）（9分）
要使對(duì)任意的x₁∈（0，1），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
只須滿足2≤log_ax₂ …（10分）
當(dāng)a＞1時(shí)，log_ax₂＜log_a

1

2

＜0，顯然不成立；                  （11分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_ax₂＞log_a

1

2

，
∴

0＜a＜1 loga 1 2 ≥2

，
解得

2

2

≤a＜1．（13分）
綜上所述，a的取值范圍為[

2

2

，1）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問(wèn)題，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．