Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，則$\frac{{{a_{2016}}}}{{{a_{2015}}}}$=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{2015}{2016}$
• C． $\frac{2016}{2015}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知條件得a₁=1，a₂=2，且數(shù)列{a_n}的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別成等比數(shù)列，由此能求出答案．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N^*，
∴n=1時(shí)，a₂=2，
∵a_n•a_n+1=2ⁿ，∴n≥2時(shí)，a_n•a_n-1=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別成等比數(shù)列，
則$\frac{{{a_{2016}}}}{{{a_{2015}}}}$=$\frac{{a}_{2}{q}^{1007}}{{a}_{1}{q}^{1007}}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．