Question

如圖，已知動圓M過定點F（0，1）且與x軸相切，點F關(guān)于圓心M的對稱點為F′，動點F′的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x₀，y₀）是曲線C上的一個定點，過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線C相交于另外兩點P、Q，證明：直線PQ的斜率為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)F′（x，y），則可M（

x

2

，

y+1

2

），圓M的直徑為|FF′|=

x2+(y-1)2

，利用動圓M與x軸相切，即可求得曲線C的方程；
（2）確定A（x0，

x02

4

），設(shè)P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），利用直線AP，AQ的傾斜角互補，可得它們的斜率互為相反數(shù)，從而可得直線PQ的斜率；

解答： （1）解：設(shè)動點F′（x，y），則
因為點F（0，1）在圓M上，且點F關(guān)于圓心M的對稱點為F′，
所以M（

x

2

，

y+1

2

），…（1分）
且圓M的直徑為|FF′|=

x2+(y-1)2

．…（2分）
由題意，動圓M與x軸相切，
所以

|y+1|

2

=

x2+(y-1)2

2

，
兩邊平方整理得：x²=4y，
所以曲線C的方程x²=4y．            …（6分）
（2）證明：因為A（x₀，y₀）是曲線C：x²=4y上的點，
所以y₀=

x02

4

，A（x0，

x02

4

）．
又點P、Q在曲線C：x²=4y上，
所以可設(shè)P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），…（7分）
而直線AP，AQ的傾斜角互補，
所以它們的斜率互為相反數(shù)，即

x12 4 - x02 4

x1-x0

=-

x22 4 - x02 4

x2-x0

，…（9分）
整理得x₁+x₂=-2x₀．…（10分）   
所以直線PQ的斜率k_PQ=

x22 4 - x12 4

x2-x1

=

x1+x2

4

=-

x0

2

…（14分）為定值．…（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線的斜率，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．