Question

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

m

72

對(duì)于大于1的一切正整數(shù)n都成立，則正整數(shù)m的最大值為（　　）

• A、43
• B、42
• C、41
• D、40

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，通過n=2，假設(shè)n=k時(shí)等式成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立，即可證明結(jié)果．

解答： 解：n=2時(shí)，

1

3

+

1

4

＞

m

72

，∴m＜42．
而m是正整數(shù)，所以取m=41．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

41

72

．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，已證；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＞

41

72

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有

1

(k+1)+1

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

41

72

+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

因?yàn)?span id="pflddhr" class="MathJye">

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

＞0，
所以

1

(k+1)+1

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

41

72

．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
由（1）（2）知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

41

72

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的步驟，注意證明n=k+1時(shí)必須用上假設(shè)，注意證明的方法，考查計(jì)算能力．