Question

5．已知函數(shù)f（x-1）=x²+（2a-2）x+3-2a
（1）求實(shí)數(shù)a的值，使f（x）在區(qū)間[-5，5]上的最小值為-1；
（2）已知函數(shù)g（x）=2x+$\sqrt{x+1}$，對任意使g（x）有意義的實(shí)數(shù)x₁，總存在實(shí)數(shù)x₂，使g（x₁）=f（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的表達(dá)式，通過討論a的范圍，得到f（x）的最小值的解析式，求出a的值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到：[-2，+∞）⊆[2-a²，+∞），解出即可．

解答 解：（1）f（x）=（x+1）²+（2a-2）（x+1）+3-2a=x²+2ax+2┉┉┉（2分）
當(dāng)-a≤-5即：a≥5時(shí)，f（x）_min=f（-5）=27-10a=-1，
∴a=2.8，舍去．
當(dāng)-5＜-a＜5 即-5＜a＜5時(shí)，f（x）_min=f（a）=-a²+2=-1，
∴a=±$\sqrt{3}$，
當(dāng)-a≥5即a≤-5時(shí)，f（x）_min=f（5）=27+10a=-1，
∴a=-2.8，舍去．
綜上：a=±$\sqrt{3}$┉┉┉（6分）
（2）g（x）=2x+$\sqrt{x+1}$在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）∈[-2，+∞）．┉┉┉（8分）
在x∈R時(shí)，f（x）∈[2-a²，+∞），
由題意知：[-2，+∞）⊆[2-a²，+∞）．┉┉┉（11分）
∴2-a²≤-2，
∴a≤-2或a≥2．┉┉┉（12分）

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．