Question

14．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0），過其焦點且斜率為-1的直線交拋物線于C，D兩點，若線段CD的中點的縱坐標為-2
（1）求拋物線C₁的方程；
（2）過點F的直線交拋物線C₁于A，B兩不同點，交y軸于點N，已知$\overrightarrow{NA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{NB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，則λ₁+λ₂是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用“點差法”可得拋物線C₁的方程；
（2）設(shè)出直線AB聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達定理，求出λ₁+λ₂的值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵C，D在拋物線上，$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}^{2}=2{px}_{1}\\{y}_{2}^{2}=2{px}_{2}\end{array}\right.$，
兩式相減得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_CD=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1，
即$\frac{2p}{-4}$=-1，
所以2p=4，則拋物線C₁的方程為y²=4x；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
則N點坐標為（0，-k），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$并整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₃x₄=1，
由$\overrightarrow{NA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{NB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$得：λ₁（1-x₃）=x₃，λ₂（1-x₄）=x₄，
∴λ₁=$\frac{{x}_{3}}{1-{x}_{3}}$，λ₂=$\frac{{x}_{4}}{1-{x}_{4}}$，
∴λ₁+λ₂=$\frac{{x}_{3}}{1-{x}_{3}}$+$\frac{{x}_{4}}{1-{x}_{4}}$=$\frac{{{{（{x}_{3}+{x}_{4}）-2x}_{3}x}_{4}}_{\;}}{1-{{（{x}_{3}+{x}_{4}）+x}_{3}x}_{4}}$=$\frac{\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}-2}{1-\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}+1}$=-1．

點評 本題考查的知識點是拋物線的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，存在性問題，難度中檔．