Question

17．在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2．
（1）若F為PC的中點，求證：PC⊥平面AEF；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積V．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F為PC的中點，可得AF⊥PC．利用線面垂直的判定與性質定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位線定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可證明PC⊥平面AEF．
（2）利用直角三角形的邊角關系可得BC，CD．S_ABCD=$\frac{1}{2}AB•BC+\frac{1}{2}AC•CD$．利用V=$\frac{1}{3}{S}_{四邊形ABCD}×PA$，即可得出．

解答 （1）證明：在Rt△ABC，∠BAC=60°，
∴AC=2AB，
∵PA=2AB，
∴PA=CA，
又F為PC的中點，
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，
∴EF∥CD．
則EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，
∴PC⊥平面AEF．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=1，
∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2$\sqrt{3}$，AD=4．
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}AB•BC+\frac{1}{2}AC•CD$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}+\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$．
則V=$\frac{1}{3}{S}_{四邊形ABCD}×PA$=$\frac{1}{3}×\frac{5}{2}\sqrt{3}×2=\frac{5}{3}\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質定理、三角形的中位線定理、直角三角形的邊角關系、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．