Question

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為l：x=

1

2

，一條漸近線的方程是y=

3

x．過雙曲線C的右焦點(diǎn)F₂的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若在l的左側(cè)能作出直線m：x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足

PS

•

QS

=0，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）設(shè)出漸近線方程是y=

3

x的雙曲線方程為

x2

λ

-

y2

3λ

=1(λ＞0)，求出其右準(zhǔn)線方程，由右準(zhǔn)線為l：x=

1

2

求得λ的值，則雙曲線C的方程可求；
（2）由S滿足

PS

•

QS

=0，得△PSQ是直角三角形．由點(diǎn)R到直線m：x=a(a≤

1

2

)的距離為|RS|=

|PQ|

2

=xR-a，結(jié)合橢圓第二定義得|PQ|=4x_R-2，聯(lián)立后再由R的橫坐標(biāo)大于等于2求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由漸近線的方程是y=

3

x，可設(shè)雙曲線C的方程為

x2

λ

-

y2

3λ

=1(λ＞0)，
則它的右準(zhǔn)線方程為x=

λ

2 λ

，即x=

λ

2

．
∵右準(zhǔn)線為l：x=

1

2

，
∴

λ

=1，則λ=1，
∴所求雙曲線C的方程是x2-

y2

3

=1；
（2）∵點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足

PS

•

QS

=0，
∴PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形．
∴點(diǎn)R到直線m：x=a(a≤

1

2

)的距離為|RS|=

|PQ|

2

=xR-a，
即|PQ|=2xR-2a…①
又由橢圓第二定義知

|PF2|

xP- 1 2

=

|F2Q|

xQ- 1 2

=2．
∴|PQ|=|PF₂|+|F₂Q|=2（x_P-x_Q-1）=4x_R-2…②
將②代入①，得x_R=1-a．
又P、Q是過右焦點(diǎn)F₂的一條弦，且P、Q均在雙曲線C的右支上，R是弦PQ的中點(diǎn)．
∴x_R≥2，
即1+a≥2，∴a≤-1．
故所求a的取值范圍是a≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬高考試卷中的壓軸題．