Question

已知雙曲線

x2

m

-y2=1的一條漸近線和圓x²+y²-4x+3=0相切，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),圓的切線方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)圓方程，得到圓心坐標(biāo)C（2，0），圓x²+y²-4x+3=0與漸近線相切，說明C到漸近線的距離等于半徑1，再根據(jù)雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式，求出m，即可得出該雙曲線的離心率．

解答： 解：圓x²+y²-4x+3=0可化為（x-2）²+y²=1，
∴圓心坐標(biāo)C（2，0），半徑為1，
∵雙曲線

x2

m

-y2=1的漸近線方程為y=±

x

m

，漸近線和圓x²+y²-4x+3=0相切，
∴

2 m

1 m +1

=1，
∴m=3，
∴雙曲線中a=

3

，b=1，c=2，
∴雙曲線的離心率為e=

c

a

=

2

3

=

2 3

3

．
故答案為：

2 3

3

．

點(diǎn)評：本題給出雙曲線的漸近線與已知圓相切，求雙曲線的離心率，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和雙曲線的簡單性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．