Question

10．給出下列命題：①函數(shù)f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1的一個(gè)對(duì)稱中心為（-$\frac{5π}{12}$，0）；②函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱；③命題“?x＞0，x²+2x-3＞0”的否定是“?x≤0，x²+2x-3≤0”；④若α，β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 ①利用y=cosx的對(duì)稱中心為：（kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈z），可得函數(shù)f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1的一個(gè)對(duì)稱中心為（-$\frac{5π}{12}$，0）；
②利用圖象變換，可得函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱；
③根據(jù)命題的否定的寫法，可知正確；
④如α=390°，β=30°，顯然α＞β，但是sinα=sinβ．

解答 解：①∵y=cosx的對(duì)稱中心為：（kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈z）
∴2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$（k∈z）
當(dāng)k=-1時(shí)，x=-$\frac{5π}{12}$
∴函數(shù)f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1的一個(gè)對(duì)稱中心（-$\frac{5π}{12}$，0），故正確．
②函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，正確；
③命題“?x＞0，x²+2x-3＞0”的否定是“?x≤0，x²+2x-3≤0”，根據(jù)命題的否定的寫法，可知正確；
④若α，β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＜sinβ．顯然不正確如α=390°，β=30°，顯然α＞β，但是sinα=sinβ
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦函數(shù)的對(duì)稱性，以及余弦函數(shù)的圖象、命題的否定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，本題為中檔題．