Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，AA₁⊥底面ABC，M為A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面AMC₁；
（Ⅱ）若BB₁=5，且沿側(cè)棱BB₁展開三棱柱的側(cè)面，得到的側(cè)面展開圖的對角線長為13，求三棱錐B₁-AMC₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明B₁C∥平面AMC₁，只需證明OM∥B₁C；
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)換底面，結(jié)合體積公式，即可求三棱錐B₁-AMC₁的體積．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，連接A₁C，交AC₁于點O，連接OM．…（1分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面是矩形，∴O為A₁C中點，M為A₁B₁的中點，
∴OM∥B₁C．                 …（3分）
又∵OM?平面AMC₁，B₁C?平面AMC₁，
∴B₁C∥平面AMC₁．            …（6分）
（Ⅱ）解∵三棱柱側(cè)面展開圖是矩形，且對角線長為13，側(cè)棱BB₁=5，
∴三棱柱底面周長為

132-52

=12，…（7分）
又∵三棱柱的底面是正三角形，
∴A₁C₁=4，B₁M=2，C1M=2

3

，…（9分）
由已知得，S△B1C1M=

1

2

•B1M•C1M=

1

2

×2×2

3

=2

3

，…（10分）
∴VB1-AMC1=VA-B1C1M=

1

3

S△B1C1M•AA1=

1

3

×2

3

×5=

10 3

3

，
即三棱錐B₁-AMC₁的體積為

10 3

3

．             …（12分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、幾何體的體積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．