已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為4，且橢圓Γ過點A（2，
2
）．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）設P、Q為橢圓Γ上關于y軸對稱的兩個不同的動點，求
AP
•
AQ
的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導出
4
a2
+
2
b2
=1
a2-b2=4
，由此能求出橢圓Γ的方程．
（2）設P（x，y），則Q（-x，y），（x≠0），
AP
=（x-2，y-
2
），
AQ
=（-x-2，y-
2
），由
x2
8
+
y2
4
=1，得x2=8-2y2，由此能求出
AP
•
AQ
的取值范圍．
解答： （1）解：∵橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為4，
且橢圓Γ過點A（2，
2
）．∴c=2，…（1分）
4
a2
+
2
b2
=1
a2-b2=4
，…（2分）
解得a2=8，b2=4，…（4分）
∴橢圓Γ的方程為
x2
8
+
y2
4
=1．…（6分）
（2）設P（x，y），則Q（-x，y），（x≠0），
AP
=（x-2，y-
2
），
AQ
=（-x-2，y-
2
），…（1分）
由
x2
8
+
y2
4
=1，得x2=8-2y2，
∴
AP
•
AQ
=4-x2+（y-
2
）2
=3y2-2
2
y-2
=3（y-
2
3
）2-
8
3
，…（5分）
由題意，-2＜y＜2，∴-
8
3
≤3(y-
2
3
)2-
8
3
＜10+4
2
．…（7分）
∴
AP
•
AQ
的取值范圍是[-
8
3
，10+4
2
）．…（8分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f （x）=
1
2x
-cosx，若
π
3
＜a＜b＜
5π
6
，則（　�。�
A、f（a）＞f（b）
B、f （a）＜f（b）
C、f （a）=f （b）
D、f （a） f （b）＞0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的通項公式是an=（n-
a
3
）2+2，若數(shù)列﹛an}為遞增數(shù)列，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）經(jīng)過點M（2，1）作直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程．
（3）已知定點G（1，2），點D是雙曲線C右支上的動點，求|DF1|+|DG|的最小值．

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設a1、a2、a3、a4為自然數(shù)，集合A={a1，a2，a3，a4}，集合B={a12，a22，a32，a42}，且a1＜a2＜a3＜a4，并滿足A∩B={a1，a4}，a1+a4=10，A∪B中的所有元素之和為124，求集合A、B．

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在正四棱錐S-ABCD中，所有棱長都是2，P為SA的中點．
（1）求二面角B-SC-D的大小；
（2）如果Q點在棱SC上．那么直線BQ能否與PD垂直，請說明理由．

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已知α：0≤x＜3，β：-1＜x≤4，γ：2x2+mx-1＜0．
（1）若α是γ的充分條件，求m的取值范圍．
（2）若β是γ的必要條件，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若在定義域存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2bx-4a（a，b∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（2）設f（x）=2x+m是定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．

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定長為4的線段AB的兩端點分別在x、y軸上滑動，則AB中點的軌跡方程是
 
．

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